4  Probabilidade e Estatística

O MUNDO TE CHAMA

Probabilidade e Estatística formam um ramo essencial da Matemática escolar e científica. A primeira ajuda a descrever a chance de ocorrência de eventos em contextos de incerteza. A segunda organiza, resume e interpreta dados produzidos por observações, experimentos e pesquisas. Em conjunto, ambas permitem compreender fenômenos naturais e sociais, avaliar evidências, tomar decisões e reconhecer limites do acaso e dos padrões.

Este capitulo propõe explorar a ideia de que eventos aleatórios podem parecer imprevisíveis quando observados isoladamente mas, quando observados muitas vezes, revelam regularidades. E nesse ponto, a Estatística dialoga com a Probabilidade.

Depois de explorar, você consegue:

- compreender a diferença entre experimento aleatório, evento, frequência relativa e probabilidade;
- interpretar distribuições simples de dados obtidos em simulações;
- relacionar média e dispersão com variabilidade amostral;
- perceber como o aumento do número de observações pode estabilizar a frequência;
- utilizar simulações interativas para investigar o comportamento de dados e eventos aleatórios.
Figura 4.1: O acaso depende do número de repetições.
MEXA ANTES DE ENTENDER

A proposta inicial desse capítulo é observar o que acontece quando um experimento aleatório simples é repetido várias vezes. No primeiro objeto interativo, você poderá simular lançamentos de um dado e acompanhar tanto os resultados obtidos, como o comportamento da média amostral.

Antes de qualquer definição formal, experimente o aplicativo de JSPlotly a seguir.

Figura 4.2: Um resultado isolado pode ser imprevisível. Mas muitos resultados juntos revelam padrões. Clique com o botão direito neste LINK para o app.

Agite antes de usar

Esse objeto tenta aproximar a estrutura de um histograma, nome “chique” para um gráfico de barras que mostra frequências de um conjunto de dados contínuos agrupados por intervalos. Mas aqui o histograma está sendo representado por pontos (dot plot), e não por barras. O app simula os resultados individuais de cada lance de um dado e a média acumulada ao longo das jogadas. Assim, o histograma muda quando a amostra é pequena ou grande. Além disso, o app também mostra como média e variabilidade se comportam em diferentes configurações, e como a frequência observada se aproxima, ou não, do comportamento esperado. Esse código integra alguns conceitos, como probabilidade experimental, amostra, média, oscilação inicial, e estabilização progressiva.

Cada jogada do dado é imprevisível. Pode sair 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 (por óbvio, me perdoe !). Mas, quando repetimos muitas jogadas, a média começa a se aproximar de um valor esperado. Para um dado equilibrado, esse valor teórico é:

\[ \mu = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} \]{eq-dado}

Com \(\mu\) representando a média da população (total de jogadas). No exemplo acima, essa média prevista é igual a 3,5.

No primeiro gráfico do app, cada ponto representa uma jogada com valores variando de 1 a 6. O acaso aí aparece de forma irregular. Já no segundo gráfico, a linha mostra a média acumulada.

Inicie o aplicativo alterando o número de jogadas, quem sabe, entre 20 e 1000:

const n = 120;

Depois rode o script mais de uma vez. Observe que os resultados individuais mudam. No começo, a média oscila bastante mas, com mais jogadas, tende a ficar mais estável. E com muitas jogadas, a média tende a aproximar-se da média teórica prevista (3,5).

Além disso, se você rodar o código várias vezes, perceberá também que, embora cada execução seja diferente, o padrão geral tende a aparecer. A estatística começa exatamente aí, quando se observa muitos casos para entender o comportamento do conjunto.

No código, o dado é simulado aqui:

const valor = Math.floor(Math.random() * 6) + 1;

A soma acumulada é atualizada a cada jogada:

soma += valor;

E a média acumulada é calculada por:

medias.push(soma / i);

Matematicamente:

\[ \bar{x}_n = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \tag{4.1}\]

Observe que o símbolo para a média mudou ! Antes era \(\mu\), e agora é \(\bar{x}\). Apesar de soar como uma pegadinha para confundir você, há uma diferença estatística clara entre as duas representações: \(\mu\) é para toda uma população, enquanto que \(\bar{x}\) serve para representar a média de uma amostra dessa população, um “pedacinho” dela, apenas. Num jogo de dados isso pode não ser tão expressivo, mas imagine situações em que seja necessário conhecer alguma coisa de toda uma população, como por exemplo, a idade de indivíduos numa metrópole com mais de 10 milhões de pessoas ! Daí a utilidade de se trabalhar estatisticamente com amostras.

Se desejar sedimentar as ideias dessa seção, tente responder as perguntas abaixo.

  • A média varia muito nas primeiras jogadas ?
  • Ela parece se estabilizar com o tempo ?
  • Os resultados individuais seguem algum padrão visível ?
  • O acaso impede totalmente a existência de regularidades ?
  • Como descrever matematicamente eventos incertos ?
  • O que muda quando repetimos muitas vezes um experimento aleatório ?
  • Como os dados obtidos podem ser resumidos e interpretados ?
  • Até que ponto uma amostra representa um comportamento esperado ?

A Probabilidade modela o que pode acontecer e com que chance isso pode acontecer. Por sua vez, a Estatística examina o que de fato aconteceu, organizando e interpretando os resultados.

FAZENDO APARECER

4.0.1 Probabilidade: chance, modelo e frequência

A Probabilidade pode ser vista de duas formas complementares, o que esperamos que aconteça (o modelo teórico) e o que de fato acontece (a frequência observada). O ponto de encontro entre essas duas aparece quando repetimos muitas vezes um experimento.

Em um experimento aleatório, como lançar uma moeda ou um dado, não sabemos exatamente o resultado de cada tentativa individual. Ainda assim, podemos listar os resultados possíveis e, em casos simples, calcular a probabilidade teórica de cada um.

Por exemplo, para um dado de seis faces, a probabilidade teórica P de sair qualquer valor especifico é:

\[ P(x) = \frac{1}{6} \]{eq-probDado} ​

Entretanto, quando o experimento é realizado no mundo real, os resultados observados nem sempre seguem imediatamente esse valor ideal. Essa frequência relativa observada fr é definida por: ​ \[ f_r = \frac{\text{número de ocorrências}}{\text{número total de tentativas}} \tag{4.2}\]

4.1 Estatística: resumir e interpretar dados

Os resultados de um experimento podem ser organizados em tabelas, distribuições e gráficos. A média aritmética, por exemplo, resume o valor central dos dados:

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \tag{4.3}\] ​

O desvio dessa média também nos ajuda a avaliar o grau de dispersão dos dados em torno do valor (ou ruído). Entre os desvios existentes, é bastante comum nas Ciências o uso do desvio-padrão:

\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1}} \tag{4.4}\]

Com o símbolo \(\Sigma\) representando a somatória de elementos.

Um maneira de resumir e interpretar dados de um experimento com amostra aleatória se dá pelo uso de um histograma. Para isso, experimente o JSPlotly que segue.

VOLTA PRO MUNDO

Agora sim, vamos experimentar um histograma de barras !

Figura 4.3: O acaso de cada evento individual pode gerar regularidade quando observado em conjunto. Clique neste LINK para o app.

Nesse JSPlotly, o objeto interativo mostra como o histograma muda quando a amostra é pequena ou grande. Também apresenta como média e variabilidade se comportam em diferentes configurações. E ainda “mata” de vez como a frequência observada se aproxima, ou não, do comportamento esperado. Desse modo, o script possibilita simular a comparação entre diferentes tipos de experimentos, tamanhos amostrais e distribuições observadas.

Enquanto a média nos dá a noção de tendência para um conjunto de dados, a dispersão informa o quanto os dados variam em torno desse centro. Mesmo sem aprofundar ainda em medidas como desvio padrão, você pode perceber visualmente que algumas amostras são mais concentradas e outras mais espalhadas.

Agite antes de usar

Escolha um cenário no menu. Pode ser dado justo, moeda justa, ou moeda viciada. Agora observe três coisas ao mesmo tempo: o histograma (o que saiu), a média acumulada (o que está emergindo), e o painel numérico (o que está sendo medido). Vamos aos cenários:

  1. Comece pelo dado justo. Rode várias vezes e observe se os valores parecem aleatórios, e se o gráfico é irregular. Agora olhe a média acumulada. Veja que ela começa instável, mas depois vai se organizando.

  2. Troque para moeda justa. Observe que os valores agora são só 0 e 1. Então a média passa a representar uma proporção, e que tende a se aproximar de 0,5.

  3. Agora use a moeda viciada. Sem mudar nada além do tipo, perceba que o comportamento muda, e a média converge para outro valor. Tente prever esse valor antes de olhar. Essa é a ideia de viés da amostragem.

  4. Mexa no tamanho da amostra. Use o slider (barra deslizante), arrastando-o de 20 até 320, e verifique o que muda quando aumentamos o número de observações. O histograma fica mais “suave” ? A média oscila menos ?

  5. Rode várias vezes o mesmo cenário. Mesmo tipo, mesmo valor de n. Observe que, embora cada execução seja diferente, o padrão geral se mantém o mesmo. Ou seja, o acaso muda, mas o comportamento global permanece.

4.2 Da chance ao padrão

Quando repetimos muitas vezes um experimento aleatório, as irregularidades das primeiras observações tendem a suavizar. A frequência relativa passa a aproximar-se da probabilidade teórica, e certos resumos estatisticos tornam-se mais estáveis. Isso equivale dizer que o acaso não desaparece, mas se organiza. Cada resultado individual continua imprevisível, mas o conjunto revela regularidades, permitindo que a repetição se transforme em informação.

Fica fácil então perceber que a leitura de dados em saúde, educação, economia, esportes e ciências depende do entendimento de probabilidade e estatística. Uma pesquisa com poucas pessoas pode não representar bem uma população. Isso porque um resultado extremo pode ocorrer por acaso e, dessa forma, produzir uma média isolada que pode esconder grande variabilidade. As apostas eleitorais que o digam !

E SE…

Essa seção é para você sedimentar as ideias tratadas no capítulo, bem como para “viajar na maionese”, como diriam os representantes de gerações passadas.

  • E se aumentarmos muito o número de jogadas ?
  • E se o dado fosse viciado ?
  • E se comparássemos dois dados ?
  • E se calculássemos também a frequência de cada face ?
  • E se a média não se aproximasse de 3,5 ?
  • E se a amostra for muito pequena ?
  • E se repetirmos muitas vezes o experimento ?
  • E se o experimento não for equilibrado ?
  • E se duas amostras tiverem a mesma média, terão também a mesma dispersão ?

Parte dessas perguntas são facilmente respondidas com os aplicativos das Figura 4.2 e Figura 4.3.

Que tal um último JSPlotly no tema de Estatística e Probabilidade para compreender melhor o tema, e que é denominado por Lei dos Grandes Números ?

Figura 4.4: Quando a frequência observada encontra a probabilidade teórica. Clique neste LINK para abrir o objeto interativo.

Esse terceiro script reúne o comportamento acumulado de um evento, a distribuição global dos resultados e o confronto entre dado observado e modelo teórico. Isso permite que você acompanhe, tentativa após tentativa, a frequência relativa acumulada de um evento, e não a média acumulada como no app anterior, e a compare com a probabilidade teórica correspondente. De fato, enquanto o script da Figura 4.3 é um comparador estatístico de amostras, esse novo script da Figura 4.4 se apresenta como um comparador entre experimento e teoria probabilística.

Agite antes de usar

O aplicativo é bem parecido com o da Figura 4.3. Escolha um cenário (“dado justo”, “moeda justa” , “moeda viciada”) e acompanhe o gráfico principal. Uma linha sobe e oscila, enquanto a outra fica fixa.

A linha que oscila representa a frequência relativa acumulada, instável no começo. Já a linha tracejada representa a probabilidade teórica. Rode o apicativo várias vezes e observe se a linha experimental se aproxima da teórica.

Pode aumentar o tamanho da amostra também, de 20 (comportamento errático) a 500 (quase sobreposta), por exemplo. E observe o que o número de observações está fazendo com o acaso. Troque para a moeda viciada, e veja que a linha nunca vai para o valor de 0,5.

Verifique o que ocorreu olhando para o histograma. Novamente, o dado isolado fica bem diferente do padrão global. Nesse sentido, você acha que o acaso é realmente imprevisível, ou depende do número de observações ?

Essa é a Lei dos Grandes Números acontecendo na tela.

No caso do dado justo, por exemplo, o evento escolhido é “obter resultado par”. A probabilidade teórica vale 3/6, isto é, 0,5. Ao rodar a simulação, perceba que a frequência relativa acumulada não coincide imediatamente com esse valor, mas oscila ao seu redor e tende a se aproximar dele conforme o número de observações aumenta. Esse movimento é matematicamente simples mas significativo, porque mostra que teoria e experimento não precisam coincidir em cada instante para serem coerentes entre si.

Nas versões com moeda justa e moeda viciada, o script torna ainda mais evidente a diferença entre flutuação aleatória e tendência do sistema. Em uma moeda justa, a proporção de caras tende a se estabilizar em torno de 0,5; em uma moeda viciada, em torno de 0,75. A comparação visual entre essas situações permite perceber que certas diferenças observadas não são mero ruído, mas efeito do próprio modelo que gera os dados.

O histograma, por sua vez, funciona como uma leitura complementar. Enquanto a curva acumulada mostra a aproximação progressiva entre frequência e teoria, o histograma revela como os resultados se distribuem na amostra. Já o painel numérico apresentado sintetiza informações importantes, como média, desvio e frequência final do evento observado.

Se quiser sedimentar o aprendizado visto até aqui, tente responder:

  • A frequência relativa acumulada coincide com a probabilidade teórica desde o início ?
  • O que acontece com essa aproximação quando o número de observações cresce ?
  • Como diferenciar oscilações naturais do acaso de uma tendência sistemática ?
  • O histograma confirma a mesma interpretação sugerida pela curva acumulada ?
  • Em que sentido o experimento “aproxima” a teoria sem reproduzi-la exatamente em cada etapa ?
MESMO PADRÃO, OUTROS MUNDOS

Aqui há um mar…ou melhor, um oceano de situações parecidas em áreas bastante diversas, embora todas enraizadas pela Estatística e Probabilidade. Seguem exemplos. Em pesquisas eleitorais, quando uma amostra pequena pode gerar conclusões instáveis e, por que não dizer, até mesmo um tanto forçadas. Em testes clinicos os resultados precisam ser analisados com base em distribuições estatísticas (t-Student, normal), e não apenas em médias aritméticas. Sequências de vitórias ou derrotas nos esportes podem ocorrer por acaso, sem indicar necessariamente mudança de desempenho. Em redes sociais, números grandes de visualizações não significam, por si só, relevância ou qualidade.

Na genética mendeliana, a proporção de fenótipos é ditada pela probabilidade envolvida nos cruzamentos. Quando um patógeno se alastra pela população, a distribuição de casos em estudos epidemiológicos é de vital importância para prever a disseminação e conter a doença. Variações em processos industriais são comumente observados pelo setor de controle de qualidade. E nas ciências, não importando qual, dificilmente se conclui qualquer coisa que não esteja repousada sobre distribuições e testes comparativos. Em todos esses contextos, a combinação entre probabilidade e estatística permite transformar dados em interpretações significativas.

Assim, Probabilidade e Estatística ajudam a pensar diante da incerteza, observar regularidades em meio ao acaso, e interpretar dados com mais cuidado, criticidade e responsabilidade.

POR DENTRO DA FERRAMENTA

Os scripts desse capítulo usam simulação computacional para gerar resultados aleatórios e transformá-los em gráficos. Neles estão presentes idéias diversas consoantes às questões levantadas no capítulo, como a geração de números aleatórios, a repetição por laços, a contagem de frequências, e o cálculo de média e dispersão de dados.

Para ilustrar essas ações, sugere-se a seguir um pseudocódigo, uma mistura de programação com linguagem natural, e centrado na lógica de programação para o script da Figura 4.2.

INÍCIO

definir número de jogadas n

criar lista de resultados
criar lista de médias acumuladas
criar lista para o eixo x

soma ← 0

PARA i de 1 até n:

    sortear um número de 1 a 6

    guardar o resultado sorteado

    adicionar o resultado à soma

    calcular média acumulada:
        média ← soma / i

    guardar essa média

    guardar o número da jogada

FIM PARA

criar gráfico 1:
    eixo x → número da jogada
    eixo y → resultado obtido no dado

criar gráfico 2:
    eixo x → número da jogada
    eixo y → média acumulada

mostrar os dois gráficos

FIM