2 Funções: padrões de mudança
Imagine uma cidade pequena com 10 mil habitantes. Ou uma megalópole com mais de 10 milhões ! A cada ano, a população cresce. Mas será que esse crescimento acontece sempre do mesmo jeito ? Em alguns casos, o aumento pode parecer constante, mas em outros ele parece acelerar com o tempo. Há situações também em que o crescimento desacelera, se estabiliza ou até mesmo diminui. Isso nos leva a perguntar como diferentes tipos de função podem ajudar a descrever tendências e comportamentos do mundo real, o que será abordado neste capítulo.
Depois de explorar, você consegue:
- reconhecer diferentes padrões de variação;
- relacionar situações reais com modelos matemáticos;
- comparar funções linear, quadrática, exponencial, logarítmica, bem como inequações;
- interpretar graficamente o comportamento dessas funções;
- usar visualizações interativas para explorar algumas funções.
Antes de buscar definições formais, explore o objeto interativo da Figura 2.2, clicando no link que aparece na legenda.
Para usar o app, como chamaremos o JSPlotly personalizado com um código específico como o da figura, basta clicar no botão add. Você verá a mesma imagem da Figura 2.2, embora com diversos recursos interativos.
Agite antes de usar
- Clique no botão add do editor de código;
- Observe o gráfico resultante;
- No editor de códigos, troque a
inclinaçãodo gráfico em Parâmetros ajustáveis, e sobreponha-o ao anterior clicando no botãoadd. Por exemplo:
let a = 2;- Substitua também o
intercepto, e depois clique no botãoadd(ex: “let b = -10;”); - Troque a função matemática ! Para isso, melhor limpar a área gráfica antes (botão
clean), e retornar com os valores originais (se não souber quais são, basta recarregar a página do navegador ou clicar novamente na Figura 2.2, que o simulador já vem limpinho!). Para selecionar outra função, substitua a linear por uma das que seguem, junto ao código:
let tipo = "linear"; // "linear", "quadratica", "exponencial", "log"Agora explore livremente o app e tente perceber, por exemplo, qual curva representa crescimento constante (mesma taxa), qual apresenta aceleração, qual cresce cada vez mais rápido, e qual perde intensidade ao longo do tempo (desacelera).
Uma função é uma regra que associa valores de entrada a valores de saída. Chato desse jeito, né ? Então que tal…um função é uma equação que pega um x e o transforma em y. Menos técnico, porém mais digerível.
Bom, quando representamos essa relação em um gráfico, começamos a enxergar alguns padrões. Cada tipo de função expressa um comportamento diferente. Na função linear, a variação ocorre de forma constante. Nas demais funções do app o gráfico se mostra em curvas. Na função quadrática, a variação muda resultando numa curva côncava (parece “feliz”) o convexa(parece “triste”). Na função exponencial, o crescimento pode se intensificar rapidamente, de uma hora pra outra. Já na função logarítmica, o crescimento começa intenso e depois vai desacelerando. Essas diferenças representam formas distintas de mudança no mundo real, por exemplo, na tendência de crescimento populacional indagada na acima.
2.1 Quatro comportamentos importantes
2.1.1 Função linear
A função linear, também denominada função afim, relaciona-se a situações em que a taxa de variação é sempre constante. Sua equação é definida por:
\[ y = ax + b \tag{2.1}\]
Nessa equação, o coeficiente a indica a inclinação da reta, e o valor b o ponto onde a reta intercepta o eixo vertical (também chamado de eixo das ordenadas, ou da variável dependente, ou comumente eixo y.).
2.1.2 Função quadrática
As demais funções apresentadas neste capítulo variam conforme o valor aumenta no eixo horizontal (também denominado por eixo das abscissas, ou da variável independente, ou comumente como eixo x). Ilustrando, a função quadrática relaciona-se a situações em que a variação muda com o quadrado do tempo. Sua equação pode ser definida como:
\[ y = ax^2 + bx + c \tag{2.2}\]
O gráfico resultante é uma parábola, e cuja concavidade depende do sinal de a. Teste no app da Figura 2.2: valores positivos, concavidade pra cima (ou perfil côncavo); valores negativos, concavidade para baixo (ou perfil convexo).
2.1.3 Função exponencial
Esta função relaciona-se a processos em que o crescimento depende muito do valor atual, sendo escrita como:
\[ y = a \cdot b^x \tag{2.3}\]
Isso acontece porque pequenas mudanças em x podem gerar grandes variações em y.
2.1.4 Função logarítmica
Essa função relaciona-se a processos em que o crescimento desacelera. Isso acontece porque o valor final varia depende da base b mostrada abaixo na Equação 2.4. Por exemplo, se b for 10, então o termo \(log_b(x)\) fará com que grandes aumentos em x (10, 100, 1000) resultem em pouca diferença no resultado (1, 2, 3).
\[ y = a \cdot \log_b(x) \tag{2.4}\]
Experimente junto ao app que o crescimento é rápido no início e depois se torna mais lento.
Vamos retomar o problema inicial. Se a população aumentasse sempre pela mesma quantidade, um modelo linear seria suficiente para explicá-la. Modelos são funções que descrevem comportamentos. Se o crescimento dependesse do número atual de habitantes, o modelo exponencial faria então mais sentido. Perceba que a escolha da função vai além de conhecer a função, mas sim o fenômeno que está sendo observado. Então a gente volta à questão que abre esse capítulo:
Qual comportamento descreve melhor uma situação real ?
O app da Figura 2.2 é suficiente para explorar diversas possibilidades relacionadas às funções linear, quadrática, exponencial e logarítmica. Para isso, como você já deve ter percebido, basta alterar o tipo da função e seus valores, “rodando” em seguida o app pelo botão add. Mas também dá pra estudar outras relações de um modo mais integrado e…bom…arriscaria dizer…“divertido” !
Para uma exploração mais consistente, experimente o aplicativo app JSPlotly que segue. Da mesma forma que para o anterior, basta clicar no LINK que aparece na legenda da figura.
Agite antes de usar
Agora a cena é outra ! Varie os valores de inclinação e intercepto da função afim pelas barras deslizantes (ou slider). Depois, selecione outras funções pelos botões de rádio (radio buttons). E tente modificar o perfil dos gráficos. Veja o que acontece com cada função quando você escolhe uma parâmetro com valor zero (0) ou negativo. Essas mudanças mostram como os parâmetros alteram o comportamento das funções.
Assim, você será capaz de responder algumas perguntas cruciais relacionadas ao crescimento da população levantado no início deste capítulo.
Você verá essa seção ao longo do livro como a mais “viajante”. Isso porque a ideia aqui é explorar as possibilidades de variação para determinado tema, tanto as enraizadas nos conceitos que a envolverem, como as mais “delirantes”, também.
- E se a taxa de crescimento for zero ?
- E se for negativa ?
- E se a parábola abrir para baixo ?
- E se a exponencial crescer lentamente no início ?
- E se o crescimento desacelerar ao longo do tempo ?
- E se uma pedra for atirada…qual a função provável que descreverá sua trajetória ?
- E se a função precisar descrever um tobogã de parque aquático ?
- E se a função se parecer com uma serpente em S…tem equação para isso ?
2.1.5 Inequações
Existe um outro tipo de função que se comporta dependendo da faixa da variável independente. Essas funções são denominadas inequações. Quer um exemplo bem prático de inequações ? Em diversas situações no comércio, o preço de um produto muda em função da quantidade que é adquirida pelo comprador. Por exemplo, o preço do varejo (poucas unidades) e o do atacado (muitas unidades). Outra situação refere-se ao valor que se paga pelo uso de água encanada ou energia elétrica em seu município. Ele também depende de faixas de consumo, da econômica até a “super esbanjadora”.
Assim, as inequações aparecem quando queremos saber se o resultado depende de uma faixa determinada para valores de x, e não quando há uma expressão única que trabalha com esse x. Ou seja, saber quando uma expressão é maior, menor ou limitada por outra. Em vez de perguntar se:
\[ f(x) = 0 \text{ ?} \]
A inequação pergunta se…
\[ f(x) > 0 \text{ ?} \]
Ou também se…
\[ f(x) < 0 \text{ ?} \]
E até mesmo se…
\[ 5 < f(x) < 10 \text{ ?} \]
E isso muda a interpretação de um gráfico, porque agora passa a importar os intervalos em que a curva fica acima ou abaixo dos pontos que cruzam o eixo horizonta. Exemplificando para uma função linear, se:
\[ f(x) = x - 2 \]
O comportamento da função muda quando se estabelece uma inequação, tal como:
\[ x - 2 > 0 \]
Na prática, a relação acima equivale dizer que a expressão “é verdadeira quando”:
\[ x > 2 \]
Na elaboração de um gráfico, isso corresponde à parte da reta 2 unidades acima do eixo horizontal (se considerar esse iniciando na origem).
Pelo mesmo raciocínio, agora para uma função quadrática:
\[ f(x) = x^2 - 4 \]
A inequação torna-se:
\[ x^2 - 4 < 0 \]
E é verdadeira quando:
\[ -2 < x < 2 \]
No gráfico, isso corresponde ao trecho de uma parábola abaixo do eixo horizontal.
Resumindo, perceba que resolver uma inequação é descobrir em quais regiões do eixo x uma condição é satisfeita. Essas regiões podem ser à esquerda ou à direita de um ponto, entre dois pontos ou fora de um intervalo. Em alguns casos, também, a região pode abraçar todo o domínio da função.
Por que não testar isso na prática ?!
Aproveite o momento e use o app da Figura 2.4 que segue para visualizar o efeito gráfico de inequações sobre uma função afim ou uma parábola.
Agite antes de usar
Use o app para perceber que resolver uma inequação é localizar regiões do gráfico.
- Escolha se deseja explorar uma função linear ou quadrática;
- Escolha a condição da inequação: maior que zero, menor que zero, maior ou igual a zero, ou menor ou igual a zero;
- Mova os controles
a,bec; - Observe o trecho mais grosso do gráfico. Esse trecho indica os valores de
xpara os quais a inequação é verdadeira.
Você também pode realizar alguns experimentos interessantes com o aplicativo, para sedimentar as ideias acima, veja:
- Na função linear, coloque
a = 1eb = -2. Observe ondef(x) > 0; - Na função linear, coloque
a = -1eb = 2. Compare com o caso anterior; - Na função quadrática, use
a = 1,b = 0,c = -4. Observe onde a parábola fica abaixo do eixo; - Troque para
f(x) < 0e veja como a solução muda; - Coloque
a = 0na função quadrática e observe como ela se aproxima de uma função linear.
As funções apresentadas neste capítulo permeiam diversos contextos e áreas do conhecimento. Os mesmos padrões encontrados aqui também aparecem, por exemplo no custo de corrida com tarifa fixa (função afim), na trajetória de lançamento de objetos (função quadrática), no crescimento populacional e no de juros compostos (função exponencial), ou em processos de adaptação e saturação, como o volume sonoro medido em decibéis (função logartítmica).
Esse espaço é dedicado para se compreender um pouco a lógica de funcionamento de um app do capítulo, ilustrando-o para que você pense computacionalmente em como ele foi criado. O escolhido para esse capítulo é o da Figura 2.2. O aplicativo segue um padrão simples. Abra-o novamente e compare as linhas de comando que lá estão com o padrão que segue.
Primeiro escolhe-se o tipo de função. Em seguida, define-se um intervalo de valores para a variável de entrada. Para cada valor de x, calcula-se o valor correspondente de y. Esses valores são armazenados e usados para gerar o gráfico.
Aqui faz-se uma observação importante sobre a linguagem envolvida, JavaScript. Perceba que os parâmetros da equação são apresentados de forma diferente que o conjunto de dados utilizado para construir os valores de x e de y das funções. Relembrando o código:
let c = 0;
// Vetores
const x_values = [];Isso é chamado declaração de variáveis em linguagens de programação. Assim, let sinaliza para uma variável que tende a ser alterada, enquanto que const uma variável que tende a permanecer constante (os vetores de dados para x e y).
Resumindo a estrutura do código (um pseudocódigo):
1. Define-se o tipo de função;
2. Define-se os parâmetros;
3. Gera-se os valores de x;
4. Para cada x:
a. calcula-se y;
b. armazena-se os valores;
c. constroi-se o gráfico